Дослідження перехідних часів в процесах дифузії з використанням похідних дробового порядку
Анотація
В роботі побудована математична модель процесу дифузії з використанням похідних дробового порядку Капутто за часом. Розв´язок задачі отримано в аналітичному вигляді з використання методів контурного інтегрування. В аналітичному вигляді знайдено поведінку процесу дифузії як для всього діапазону часів, так і для великих та малих часів. Необхідність отримання розв´язку в аналітичному вигляді пояснюється тим, що математичні моделі процесів з використання похідних дробових порядків є досить чутливими до зміни порядку похідної, а застосування числових методів не завжди дозволяють зменшувати крок дискретизації. Разом з тим, з аналізу літературних джерел слідує, що невелика зміна порядку дробової похідної може привести до суттєво відмінних результатів. Тому важливе значення має отримання результату в аналітичній формі. Це дозволить адаптувати та оптимізувати отриманий результат стосовно реальної інформації про процес, який моделюється.
Посилання
A. V. Letnikov, "Theory of differentiation with an arbitrary index," Sbornik: Mathematics, vol. 3, pp. 1-66, 1868 (Russian).
H. Weyl, "Bemerkungen zum begriff des differentialquotienten gebrochener ordung vierteljahresschr," Naturforschende Gesellschaft in Zurich ¨ , vol. 62, pp. 296-302, 1917.
M. Riesz, "L'integrale de Riemann-Liouville et le probl ' eme de ' Cauchy," Acta Mathematica, vol. 81, no. 1, pp. 1-222, 1949. https://doi.org/10.1007/BF02395016
M. Riesz, "L'integrale de Riemann-Liouville et le probl ' eme ' de Cauchy pour l'equation des ondes," ' Bulletin de la Societ ' e' Mathematique de France ' , vol. 67, pp. 153-170, 1939. https://doi.org/10.24033/bsmf.1309
M. Caputo, "Linear models of dissipation whose q is almost frequency independent-ii," Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society, vol. 13, no. 5, pp. 529-539, 1967. https://doi.org/10.1111/j.1365-246X.1967.tb02303.x
R. Figueiredo Camargo, A. O. Chiacchio, and E. Capelas de Oliveira, "Differentiation to fractional orders and the fractional telegraph equation," Journal of Mathematical Physics, vol. 49, no. 3, Article ID 033505, 2008 https://doi.org/10.1063/1.2890375
R. Caponetto, G. Dongola, L. Fortuna, and I. Petras, Fractional Order Systems: Modeling and Control Applications, World Scientific, Singapore, 2010. https://doi.org/10.1142/9789814304207
M. Davison and C. Essex, "Fractional differential equations and initial value problems," The Mathematical Scientist, vol. 23, no. 2, pp. 108-116, 1998.
G. Jumarie, "On the solution of the stochastic differential equation of exponential growth driven by fractional Brownian motion," Applied Mathematics Letters, vol. 18, no. 7, pp. 817-826, 2005. https://doi.org/10.1016/j.aml.2004.09.012
G. Jumarie, "An approach to differential geometry of fractional order via modified Riemann-Liouville derivative," Acta Mathematica Sinica, vol. 28, no. 9, pp. 1741-1768, 2012 https://doi.org/10.1007/s10114-012-0507-3
G. Jumarie, "On the derivative chain-rules in fractional calculus via fractional difference and their application to systems modelling," Central European Journal of Physics, vol. 11, no. 6, pp. 617-633, 2013. https://doi.org/10.2478/s11534-013-0256-7
A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, and J. J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations, vol. 204 of North-Holland Mathematics Studies, Elsevier, Amsterdam, The etherlands, 2006. [13] N. B. Lopuh & Ya.D. Pyanylo Mathematical Modeling of Gas Filtration in the Bottomhole Zone of Underground Gas Storage Wells Using Fractional Derivatives Journal of Mathematical Sciences Volume 279, pages 282-292, (2024). https://doi.org/10.1007/s10958-024-07011-5
Lopuh, N., Pyanylo, Y Simulation of Gas Filtration Processes in Fractured-Porous Media // Proceedings of the 2024 IEEE International Conference on Advanced Computer Information Technologies (ACIT). IEEE, - Czech Republic 2024, https://doi.org/10.1109/ACIT62333.2024.10712605
Yaroslav Pyanylo, Sofiya Tvardovska, Halyna Pyanylo. The Spectral Methods of Investigation the Processes of Heterodiffusion in the Terms of Fractional Derivatives 14th International Conference on Advanced computer information technologies Ceske Budejovice, Czech Republic 19-21 September 2024. P 186-189. https://doi.org/10.1109/ACIT62333.2024.10712458
Lopuh N. B, Pyanylo Ya. D. Numerical analysis of models with fractional derivatives for gas filtration in porous media // Journal of Coupled Systems and Multiscale Dynamics - 2014. - Vol. 2 (1). - Pp. 15-19 https://doi.org/10.1166/jcsmd.2014.1035
Ya. Pyanylo, O. Bratash, and G. Pyanylo, "Solving of differential equations systems in the presence of fractional derivatives using the orthogonal polynomials," Math. Model. Comput., 4, No. 1, 87-95 (2017) https://doi.org/10.23939/mmc2017.01.087
Lopuh, N., Pyanylo, Y. Numerical Model Analysis of Atypical Gas Filtration in a Porous Medium 12th International Conference on Advanced Computer Information Technologies, ACIT 2022, 2022, pp. 1-4. https://doi.org/10.1109/ACIT54803.2022.9913079
Mariusz Ciesielski and Jacek Leszczynski Numerical simulations of anomalous diffusion // CMM 2003 Conference Gliwice/Wisla Poland, June 3-6, 2003, (5pp). [20] Yuriy Povstenko Linear Fractional Diffusion-Wave Equation for Scientists and Engineers Springer International Publishing Switzerland 2015 - 460 p.
Авторське право (c) 2025 Yaroslav Pyanylo, Anna Lyantse, Halyna Pyanylo (Автор)
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.
